jueves, 6 de noviembre de 2008

Integrales

Al estudiar una integral definida tratamos con una función definida sobre un

intervalo finito y supimos que no tiene una descontinuidad infinita. El consepto de una

integral definida al caso donde el intervalo es infinito y tambien al caso donde tiene una

discontinuidad infinita en ,en uno y otro caso la integral se llama integral impropia.


Tipo 1: Intervalos infinitos
Considerar la region infinita, S , que esta bajo la curva , sobre el eje x y a la derecha de la

recta x=1. Podria pensarse que como S tiene una extension infinita, su area debe ser infinita; pero examinemos esto con mas cuidado. El area de la parte de S que está a la izquierda de la recta x-t es


Tambien observará que

El area de la región sombreada tiende a 1 cuando : asi pues, el area de la region infinita, S, es igual a 1. Esto se escribe


Con este ejemplo como guia, definimos la integral de (no necesariamente un funcion positiva) sobre un intervalo infinito como el limite de integrales sobre intervalos finitos.


Definicion de una integral impropia tipo 1
(a) Si esxiste para todo numero , entonces



siempre y cuando exista este limite (como un numero finito)

(b) Si existe para todo numero entonces


siempre que haya este limite (como un numero finito)

Las integrales impropias de y se llaman convergentes si hay tal limite y divergentes si no existe

(c) Si y son convergentes, entoces por definicion




Se puede emplear cualquier numero real a en la parte (c).

Cualquiera de las integrales impropias de la definicion 1 se pueden interpretar como una area, siempre que sea un funcion positiva; por ejemplo, en el caso (a) si y la integral es convergente, el area de la region se define como


Esto es apropiado porque es el limite del area bajo la grafica de , de a
cuando

EJEMPLO 1

Determine si la integral es convergente o divergente

Solución : Segun el inciso(a) de la definicion 1







el limite no existe como numero finito; len consecuencia, la integral impropia es divergente

Comparemos el resultado del ejemplo 1 con el del ejemplo que esta al principio de esta seccion:


convergentes divergentes



Esto significa, geometricamente, que aunque las curvas y se parecen mucho cuando ,la regionbajo a la derecha tiene un area finita, mientras que la region correspondiente bajo posee area infinita. Observsmos que y tienden a 0 cuando , pero lo hace con mayor rapidez que . los valores de no decrecen lo bastante rapido como para que la integral tenga un valor definido



EJEMPLO 2

Evalue
Solución : Al emplear la parte (b) de la definicion 1, tenemos que



Integramos por partes, haciendo , de modo que y






sabemos que cuando , de acuerdo con la regal de l'Hospital




Por consiguiente




EJEMPLO 3

Evalue


Solucion: Conviene elegii¡r en la definicion 1 (c)



Ahora debemos evaluar por separado las integrales del lado derecho:









como ambas son convergentes, la integral original es convergente y





En vista de que , la integral impropia dada puede ser interpretada como el area de la region infinita bajo la curva y arriba del eje X

Tipo 2:Integrandos sidcontinuos

Sea una funcion positiva continua, definida en un intervalo finito, , con una asintota vertical en

. Sea la region no acotada bajo la grafica de y sobre el eje X, entre a y b. (Para las integrales de Tipo 1, las regiones se prolongan indefinidamente en direccion horizontal. En este caso, la region es infinita en sentido vertical). El area se la parte entre y es



Si A(t) tiende a un numero definido, A, cuando , se dice que el area de la region es A y se escribe


Esta ecuacion sirve para definir una integral impropia de tipo (2), aun cuando no sea una funcion positiva, sin importar que tipo de discontinuidad tiene en
Definicion de una integral impropia del tipo 2

(a) Si es continua en y discontinua en



si el limite existe, como un numero finito

(b) Si es continua en y discontinua en ,



si este limite existe, como un numero finito

La integral impropia se denomina convergente si existe el limite, y divergente si no existe.

(c) Si tiene una discontinuidad en , y , y si son convergentes tanto como por definicion



Ejemplo 1

Determine

Solución: Primero que nada observemos que la integral dada es impropia ya que
tiene la asíntota vertical . Como la discotinuidad infinita se presenta en el extremo izquierdo de , aplicamos la parte (b) de la definición 3 :






Por consiguiente , la integral impropia del problema es convergente.


Ejemplo 2

Indique si converge o diverge.


Solución : Notará que la integral dada es impropia, pues . Al emplear e inciso (a) de la definición 3 tenemos que






Ya que y cuando así pues ,la integral impropia original es divergente.


Ejemplo 3

Evalúe de ser posible.

Solución : la recta es una asíntota vertical del integrado. Como se presenta a la mitad del intervalo , usaremos la parte (c) de la definicion 3, con c=1;


en donde



Porque cuando . Por lo tanto , es divergente. Esto quiere decir que es divergente .


Precaución De no adverti la asíntota en el ejemplo 3 , quizá habriamos confundido la integral con una ordinaria y ejecutando este cálculo erroneo:



Esto esta mal , ya que la integral es impropia y se debe calcular en términos de límites.
De ahora en adelante , cuando encuentre el simbolo
debe decidir, examinado la función en , si es una integral definida ordinaria o una integral impropia.

Ejemplo 4

Evalúe

Solución : Sabemos que la función tiene una asíntota vertical en 0 porque , por lo tanto, la integral dada es impropia y entonces




Ahora integramos por partes,con





Para determinar el límite del primer término , aplicamos la regla del 1 'hospital:





Por consiguiente,



Prueba de comparación para integrales impropias

A veces resulta imposible determinar el valor exacto de una integral impropia, pero es importante saber si es convergente o divergente. En tales casos es posible emplear el siguiente teorema. Aunque lo enunciamos para las integrales del tipo 1 , hay otro similar para las de tipo 2.

Ejemplo 5



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Bibliografia

Calculo de stewart 4 edicion
Integrantes:
Pedro Nel Galeano
Alejandra Chaves
Jorge Andres Mereha
Larry Miranda
Andres Medina
SandraRiaño Gómez
Willian Durán Durán
Joaquin Moreno Martinez
Alejandro Martinez
Luis Carlos Ramires
Julie Jazmin Sanchez

Presentado a:
Monica Ines Pinto